Число Капрекара: математический фокус с числом 6174

В математике есть числа, которые ведут себя почти как фокусы. Одно из них — число 6174, его называют постоянной Капрекара.

Удивительно то, что к этому числу можно прийти из почти любого четырёхзначного числа, если каждый раз выполнять один и тот же простой алгоритм.

Как работает алгоритм

Возьмём любое четырёхзначное число, в котором не все цифры одинаковые.

Например:

$$3524$$

Теперь выполним три шага:

Получаем:

$$5432 - 2345 = 3087$$

Теперь повторим те же действия уже с числом $3087$:

$$8730 - 0378 = 8352$$

Ещё раз:

$$8532 - 2358 = 6174$$

Мы пришли к числу $6174$.

А теперь самое интересное: если повторить алгоритм с числом $6174$, оно снова даст само себя:

$$7641 - 1467 = 6174$$

Поэтому число $6174$ называют постоянной: после попадания в него процесс уже не меняется.

Почему это удивительно

Можно взять разные четырёхзначные числа:

$$2111,\ 5000,\ 9812,\ 7643$$

И если в числе не все цифры одинаковые, процесс снова и снова будет приводить к $6174$.

Например:

$$5000 - 0005 = 4995$$

$$9954 - 4599 = 5355$$

$$5553 - 3555 = 1998$$

$$9981 - 1899 = 8082$$

$$8820 - 0288 = 8532$$

$$8532 - 2358 = 6174$$

Сначала кажется, что это просто случайность. Но за этим стоит строгая закономерность, связанная с разрядностью числа и перестановкой цифр.

Есть ли исключения?

Да. Если все цифры числа одинаковые, то алгоритм не приведёт к $6174$.

Например:

$$4444 - 4444 = 0$$

То есть числа вида

$$1111,\ 2222,\ 3333,\ldots,\ 9999$$

попадают в $0$, а не в $6174$.

В этом алгоритме число всегда считают четырёхзначным. Поэтому, если после вычитания получается число с меньшим количеством цифр, впереди дописывают нули.

Например, $999$ записывают как $0999$.

Постоянная Капрекара — хороший пример того, что математика состоит не только из формул и школьных правил.

Иногда простое действие с цифрами открывает неожиданную закономерность. Такой пример помогает увидеть, что математика может быть красивой, игровой и исследовательской.

Попробуйте взять своё четырёхзначное число и проверить, за сколько шагов оно придёт к $6174$.