12.06.2026

Число Капрекара: математический фокус с числом 6174

В математике есть числа, которые ведут себя почти как фокусы. Одно из них — число 6174, его называют постоянной Капрекара.

Удивительно то, что к этому числу можно прийти из почти любого четырёхзначного числа, если каждый раз выполнять один и тот же простой алгоритм.

Как работает алгоритм

Возьмём любое четырёхзначное число, в котором не все цифры одинаковые.

Например:

$3524$ $3524$ $3524$

Теперь выполним три шага:

•

Расставим цифры по убыванию.

•

Расставим те же цифры по возрастанию.

•

Вычтем меньшее число из большего.

Получаем:

$5432 - 2345 = 3087$ $5432 - 2345 = 3087$ $5432 - 2345 = 3087$

Теперь повторим те же действия уже с числом $3087$ $3087$ $3087$ :

$8730 - 0378 = 8352$ $8730 - 0378 = 8352$ $8730 - 0378 = 8352$

Ещё раз:

$8532 - 2358 = 6174$ $8532 - 2358 = 6174$ $8532 - 2358 = 6174$

Мы пришли к числу $6174$ $6174$ $6174$ .

А теперь самое интересное: если повторить алгоритм с числом $6174$ $6174$ $6174$ , оно снова даст само себя:

$7641 - 1467 = 6174$ $7641 - 1467 = 6174$ $7641 - 1467 = 6174$

Поэтому число $6174$ $6174$ $6174$ называют постоянной: после попадания в него процесс уже не меняется.

Почему это удивительно

Можно взять разные четырёхзначные числа:

$2111, 5000, 9812, 7643$ $2111, 5000, 9812, 7643$ $2111, 5000, 9812, 7643$

И если в числе не все цифры одинаковые, процесс снова и снова будет приводить к $6174$ $6174$ $6174$ .

Например:

$5000 - 0005 = 4995$ $5000 - 0005 = 4995$ $5000 - 0005 = 4995$

$9954 - 4599 = 5355$ $9954 - 4599 = 5355$ $9954 - 4599 = 5355$

$5553 - 3555 = 1998$ $5553 - 3555 = 1998$ $5553 - 3555 = 1998$

$9981 - 1899 = 8082$ $9981 - 1899 = 8082$ $9981 - 1899 = 8082$

$8820 - 0288 = 8532$ $8820 - 0288 = 8532$ $8820 - 0288 = 8532$

$8532 - 2358 = 6174$ $8532 - 2358 = 6174$ $8532 - 2358 = 6174$

Сначала кажется, что это просто случайность. Но за этим стоит строгая закономерность, связанная с разрядностью числа и перестановкой цифр.

Есть ли исключения?

Да. Если все цифры числа одинаковые, то алгоритм не приведёт к $6174$ $6174$ $6174$ .

Например:

$4444 - 4444 = 0$ $4444 - 4444 = 0$ $4444 - 4444 = 0$

То есть числа вида

$1111, 2222, 3333, \dots, 9999$ $1111, 2222, 3333, \dots, 9999$ $1111, 2222, 3333, \dots, 9999$

попадают в $0$ $0$ $0$ , а не в $6174$ $6174$ $6174$ .

В этом алгоритме число всегда считают четырёхзначным. Поэтому, если после вычитания получается число с меньшим количеством цифр, впереди дописывают нули.

Например, $999$ $999$ $999$ записывают как $0999$ $0999$ $0999$ .

Постоянная Капрекара — хороший пример того, что математика состоит не только из формул и школьных правил.

Иногда простое действие с цифрами открывает неожиданную закономерность. Такой пример помогает увидеть, что математика может быть красивой, игровой и исследовательской.

Попробуйте взять своё четырёхзначное число и проверить, за сколько шагов оно придёт к $6174$ $6174$ $6174$ .

Содержание